Cei mai faimosi fractali.

Triunghiul lui Sierpinski:
Polonezul Waclav Sierpinski a pornit de la un triunghi pe care l-a divizat în patru parti egale. Apoi a divizat cele trei parti marginale în acelasi mod, continuând procesul la infinit. Figura obtinuta este numita „Triunghiul lui Sierpinski”.
Un alt mod de constructie a aceleiasi forme porneste de la un triunghi plin, în care „decupam” gauri identice, în loc de a trasa linii. Rezultatul este acelasi desi este numit în aceasta maniera „Sita lui Sierpinski”.
Principala problema era legata de aria acestor figuri. Din moment ce ele erau alcatuite din segmente de dreapta, care, matematic, nu au nici arie, nici latime, matematicienii au convenit ca aria figurilor este 0, mai mult însa deoarece nu puteau spune cât este aria, daca nu ar fi 0.
Matematicianul italian Giueppe Peano, „profesor extraordinar de calcul infinitezimal” la Universitatea din Torino, folosindu-se de Covorul lui Sierpinski, a demonstrat ca o curba continua, fara latime (si deci fara arie), poate umple o portiune de spatiu, deoarece la infinit, între linii nu va mai ramâne deloc spatiu gol (curba de umplere a spatiului). Curba va avea asadar aria patratului care o margineste, desi este alcatuita în continuare din segmente de dreapta.
Praful lui Cantor

Matematicianul german Georg Cantor, cel care a dezvoltat singur teoria seriilor, a creat în 1877 o forma denumita „Praful lui Cantor”. Ea este construita din fragmentarea segmentelor de dreapta unidimensionale, continând la sfârsit doar puncte de dimensiune 0, desi este în continuare alcatuita din segmente de dreapta.
Curba lui Koch
Matematicianul suedez Helge Von Koch, fascinat de infinit ca toti colegii sai în timpul marii crize din matematica, a construit „curba liniei de coasta”. El a pornit de la o dreapta pe care a desenat un triunghi exterior. Pe fiecare segment de dreapta al aceleiasi forme a desenat câte un triunghi, s.a.m.d. Asemanator, se poate crea Curba liniei de coasta Koch si pornind de la un patrat, sau de la un triunghi echilateral pe laturile caruia desenam triunghiuri echilaterale.

Fractalii..psihedelici

  

Imaginile psihedelice au devenit o arta. Fractalii inventati de catre matematicianul Benoit Mandelbrot, realizati apoi de diversi oameni de stiinta, se transforma intr-o arta uluitoare.
Oamenii de stiinta stiu foarte bine ca nu aveti nevoie de droguri psihedelice, pentru a realiza imagini uimitoare: fractali, coliziuni ale particulelor, simulari pe calculator si pete solare, toate par a fi destinate special pentru a da nastere unor imagini nemaivazute, prezentate de Discover Magazine.
Cuvantul fractal a fost inventat in 1975, de catre matematicianul Benoit Mandelbrot. Provine din latinescul "frangere", care inseamna "a sparge in fragmente neregulate".
Practic, fractalii sunt figuri din plan sau spatiu, compuse dintr-un numar infinit de elemente, cu proprietatea ca forma nu li se modifica, indiferent de scara de observatie.
Fractalii formeaza o sectiune importanta a artei psihedelice si regele fractalilor era Benoit Mandelbrot, care tocmai a murit, in octombrie 2010.
In faimosul set Mandelbrot, fiecare particica este la fel ca un intreg si granita imaginara devine continua, mai detaliata cand se face zoom.
Setul de imagini contine diversi fractali psihedelici, realizati de oameni de stiinta precum Gaston Julia, Gerd Gunther, Kai-hung Fung, Mike Glazer sau de la National Center Atmospheric Research si CERN.
Imaginile fractalilor au devenit foarte indragite de public, devenind o arta, iar numerosi oameni de stiinta se intrec in a realiza fractali cat mai atractivi si originali.

Fractalii- la granita dintre arta si matematica

Fractal art este o forma de arta algoritmica care foloseste fractalii si reprezentarile computerizate pentru a genera imagini, animatii sau  muzica. Artistul britanic William Latham a folosit geometria fractala in operele sale.

Greg Sams a folosit fractalii pentru a crea vederi sau tricouri. Reginald Arkins creaza arta fractala pentru relaxare. Carlos Ginzburg a definit conceptul de “homo fractalus” centrat pe idea ca omul este cel mai reprezentativ exemplu de fractal. Arhitectul spaniol Xavier Vilalta foloseste geometria fractala pentru a aduce inovatii in modul in care se construiesc cladirile eco-friendly.

 Alti fractali faimosi. Faimoasa curba Koch este numita dupa matematicianul suedez Niels Fabian Helge von Koch. Curba fulgul de zapada este practic primul fractal. Pentru a crea un fulg Koch, se incepe cu un triunghi echilateral si se inlocuieste treimea din mijloc de pe fiecare latura cu doua segmente astfel incat se formeaza un nou triunhghi echilateral exterior. Dupa cateva sute de  iteratii lungimea curbei devine mai mare decat diametrul Universului vizibil.

 Un al fractal faimos este numit dupa matematicianul polonez Wacaw Sierpiski. Se extrag triunghiuri dintr-un triunghi echilateral si continuand acest proces obtinem covorul lui Sierpiski. Acelasi procedeu se poate face si cu patrate. Acest fractal nu are arie dar are un perimetru infinit.

"O natura fractalica"

 


Fractali? aceasta notiune ne-a fost poate cu totul straina unora din noi. Momentul decisiv , in care interesul, curiozitatea si fascinatia noastra pentru acest subiect au inceput sa capete amploare a fost momentul cand am descoperit ca FRACTALII sunt de fapt o parte din noi ca fiinte vii si chiar o parte din natura inconjuratoare.

Fractali aproximativi sunt ușor de observat în natură. Aceste obiecte afișează o structură auto-similară la o scară mare, dar finită. Exemplele includ norii, fulgii de zapada, cristale, lanturile montane, fulgerele, retelele de rauri, conopida sau brocoli și sistemul de vase sanguine și vase pulmonare.

Arborii și ferigile sunt fractali naturali și pot fi modelați pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursivă este evidentă în aceste exemple — o ramură a unui arbore sau o frunză a unei ferigi este o copie în miniatură a întregului: nu identice, dar similare.
În 1999, s-a demonstrat despre anumite forme de fractali auto-similari că au o proprietate de "frequency invariance" — aceleași proprietăți electromagnetice indiferent de frecvență — din Ecuatiile lui Maxwell

Fractalii in matematica

Fractalii-O componenta a Haosului?

Dimensiunea fractală a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. În comparatie cu cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e brută și încrețită. De aceea ea ocupă spațiu mai ușor, dar nu il poate umple asemenea unui pătrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva între cele doua. Termenul de fractal a ajuns să descrie orice imagine care prezintă atributul de auto-similaritate.

Mai târziu, un cercetător pe nume Feigenbaum studia bifurcațiile unei diagrame și încercă să isi dea seama cat de repede apar acele bifurcatii. A reusit să își de-a seama că au au o viteză de apariție constanta. El a calculat-o la 4.669. cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-similara. Dacă se micsora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi arătat că una din regiunile bifurcației. A decis să studieze si celelalte ecuații căutând un factor de scalare a lor. Spre surpriza sa, factorul de scalare era același. Nu numai ca această ecuație complicată dădea dovada de regularitate, dar regularitatea era identică cu cea a unei ecuații mult mai simple. Aceasta era o descoperire revoluționară. El a descoperit că o întreagă clasă de funcții matematice se comportau în acelasi fel. Aceasta universalitate putea să îi ajute pe alți cercetători care studiau ecuațiile haotice. Universalitatea oferise cercetătorilor unealtă necesara pentru a studia sistemele haotice. Acum ei puteau utiliza o simplă ecuație pentru a afla rezultatul unei ecuații mai complexe. Structurile fractale au fost observate și în alte locuri în afara minții unui matematician. Vasele de sânge care se ramnifică, ramurile unui copac, structura interna a plămânilor, graficele dela bursă, etc. Toate acestea au un singur lucru în comun: auto-similaritatea.

Ce sunt fractalii?

Pentru a-i putea studia, trebuie sa-i intelegem..

      Un fractal este "o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părţi, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puţin aproximativ) o copie miniaturală a întregului". Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 şi este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat". Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici: Are o structură fină la scări arbitrar de mici. Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional. Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic). Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert). Are o definiţie simplă şi recursivă. Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deşi greşise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare în acest sens). Abia în 1872 a apărut o funcţie al cărei grafic este considerat azi fractal, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcţie cu proprietatea că este continuă, dar nediferenţiabilă. În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiţia abstractă şi analitică a lui Weierstrass, a dat o definiţie geometrică a unei funcţii similare, care se numeşte astăzi fulgul lui Koch. În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul şi, un an mai târziu, covorul lui Sierpinski. La origine, aceşti fractali geometrici au fost descrişi drept curbe în loc de forme bidimensionale, aşa cum sunt cunoscute astăzi.